円周率の評価

仮定より

$\zeta(2)=\sum_{i=1}^\infty=\frac{\pi^{2}}{6}$

よって

$\frac{\pi^{2}}{2}=3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}}$

明らかに

$\frac{\pi^{2}}{2}-3=3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^{2}}$

であり、辺々足すと

${\pi^{2}}-3=3\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}})$

また

$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$

であるから

$\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^{2}+\frac{2}{n(n+1)}=\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}+2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

したがって

${\pi^{2}}-3$

$=3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}$

$+6\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

$=3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}+6$

右辺の無限和の第一項を計算すると

$\pi^{2}>9.75>(3.1)^{2}$

よって $\pi>3.1$ □